Bài viết được dịch từ cuốn sách "How Mathematicians Think" của tác giả "William Byers"

DECIMAL NUMBERS

Xét ký hiệu thập phân của các số thực. Ví dụ, chúng ta được dạy ở trường là phân số 1/3  đượcviết dưới dạng thập phân là  , ở đây dấu ba chấm thể hiện rằng dãy các chữ số  là vô hạn. Tức là
1/3 = 0, 3333...

Nhân cả hai vế với  ta được

1 = 0,9999...

Vậy phương trình này nghĩa là sao? Đâu là ý nghĩa đích thực của dấu "="? Nó chắc chắn không có nghĩa là số một đồng nhất tới cái mà được biểu diễn bởi ký hiệu  . Có vấn đề ở đây, bằng chứng là hầu hết những sinh viên toán không tin vào đẳng thức này. Tôi đã từng đặt câu hỏi "có phải " tới các sinh viên trong môn học giải tích thực (real analysis). Có một điều gì đó của biểu diễn này làm cho các sinh viên bối rối. Họ không dám nói rằng  là bằng
 , nhưng họ đều đồng ý rằng nó "rất gần" với  . Nhưng gần như thế nào? Một số nói rằng "cực kỳ gần" ("infinitely close"), nhưng họ không chắc chắn được ý của họ qua câu nói này là gì.
Theo tôi, có sự không rõ ràng chứa đựng trong việc cho một số thập phân vô hạn bằng một số nguyên.

Ký hiệu  là ký hiệu cho tổng vô hạn. Tức là

0.99999... = 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ...

Một tổng vô hạn thì luôn phức tạp hơn một tổng hữu hạn phần tử, và sự phức tạp này được ẩn dưới ký hiệu dễ gây hiểu nhầm. Vậy là ký hiệu này đại diện cho thứ nhất là quá trình (process) cộng từng phần tử cụ thể của dãy và cho đối tượng (object) là kết quả của quá trình đó. Rõ ràng số  là một đối tượng toán học (mathematical object), một con số. Vậy phương trình  gây tranh cãi bởi vì nó có vẻ như nói rằng một quá trình bằng (hay đồng nhất?) một đối tượng. Làm sao một quá trình lại bằng một đối tượng, cũng giống như là sao nói một đồng từ (động từ thường dùng để mô tả một quá trình) là một danh từ (danh từ thường được dùng để mô tả một đối tượng). Tương tự như vậy, tất cả các số thập phân vô hạn đều không rõ ràng. Các sinh viên đã lúng túng bởi vì họ nghĩ là  chỉ là một quá trình. Họ tự cộng từng phân số của dãy vô hạn đó và nghĩ rằng quá trình này không bao giờ ngừng lại. Như vậy tại mọi bước hữu hạn (hay là sau hữu hạn bước) tổng "rất gần" với  nhưng không bằng  . Họ không thấy rằng quá trinh vô hạn này có thể được hiểu như là một con số.
Bạn có thể cùng làm một "chứng minh" với họ, chẳng hạn như
Đặt 
Thì 
Suy ra 
Vậy 
Các sinh viên hầu hết đều thấy ngạc nhiên và thú vị. Hầu hết các sinh viên đều lập tức đồng ý rằng  thực sự bằng  . Tức là, bây giờ họ đã chấp nhận nó, nhưng, theo tôi, vẫn có một chút ít của sự nghi ngờ vẫn còn đọng lại. Họ vẫn chưa giải quyết được sự không rõ ràng. Họ vẫn chưa "hiểu" được biểu diễn số thập phân vô hạn. Hiểu yêu cầu cao hơn so với chấp nhận sự đúng đắn của một sự việc nhất định. Nó yêu cầu những hoạt động sáng tạo, những thứ mà tôi muốn nói khi tối nói đến việc giải quyết của một sự không rõ ràng. Hiểu biểu diễn số thập phân vô hạn nghĩa là có thể linh động giữa hai cách nhìn, là một đối tượng hay là một quá trình. Khi đó, sự hiểu đó sẽ bao gồm cả việc nghĩ ra rằng có "một đối tượng" ("one single idea") mà có thể được biểu diễn dưới dạng  hay  , tức là có thể hiểu như là một quá trình cộng một chuỗi vô hạn hay là một quá trình hữu hạn của việc tính toán cũng như là một đối tượng cụ thể, một con số. Sự sáng tạo, linh động này cần phải có trước khi ai đó nói rằng hiểu việc biểu diễn số thực dưới dạng thập phân vô hạn. 
Trích : How Mathematicians Think (William Byers)